A convivência em sociedade provocou na humanidade, a necessidade da criação de um mecanismo capaz de gerenciar numerais.
Para expressarmos quantidades ou para enumerarmos objetos, por
exemplo, utilizamos um sistema de numeração. Existem vários sistemas de
numeração, mas o mais comum e que é frequentemente utilizado por nós, é o
sistema de numeração decimal.
Neste sistema os números são representados por um agrupamento de símbolos que chamamos de algarismos ou dígitos.
O sistema de numeração decimal possui ao todo dez símbolos distintos,
através dos quais se utilizarmos apenas um dígito, podemos representar
quantidades de zero a nove.
Dígitos ou algarismos são símbolos numéricos utilizados na representação de um número, por exemplo, o número
756 é composto de três dígitos:
7,
5 e
6.
No sistema decimal contamos com dez símbolos distintos:
0,
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8 e
9.
Números no Sistema Decimal
0 - zero:
1 - um:
2 - dois:
3 - três:
4 - quatro:
5 - cinco:
6 - seis:
7 - sete:
8 - oito:
9 - nove:
Acima vemos dez números no sistema decimal com apenas um Dígito.
Observe que o
0 ( zero ) é utilizado neste caso para representarmos a ausência de bolinhas. O
1 representa uma bolinha, o
2 representa duas bolinhas e assim por diante, sempre considerando uma bolinha a mais, até chegarmos ao número
9 que representa um total de nove bolinhas.
Se tivermos mais uma bolinha, como será a representação simbólica deste numeral?
Como já utilizamos todos os dez símbolos e não dispomos de outros, vamos recomeçar a sequência pegando novamente o
0, mas agora iremos trabalhar com dois dígitos.
À esquerda deste zero devemos colocar o próximo símbolo. Como ainda não utilizamos nenhum símbolo nesta posição, ele seria o
0, mas como o zero não é um dígito significativo, pois ele representa a ausência, então o primeiro símbolo a utilizar será o
1.
O próximo número será então:
10 - dez:
|
Note que a bolinha à esquerda do símbolo
| representa as dez bolinhas, ou uma dezena e à direita do
| não temos nenhuma bolinha, pois estamos representando o zero.
Se tivermos uma bolinha a mais, ou seja, onze, a representação será:
11 - onze:
|
Repare que agora temos uma bolinha de cada lado do símbolo
|, a bolinha à esquerda vale dez vezes mais que a da direita. A da esquerda vale dez e a da direita vale um.
De doze a dezenove temos as seguintes representações:
12 - doze:
|
13 - treze:
|
14 - quatorze:
|
15 - quinze:
|
16 - dezesseis:
|
17 - dezessete:
|
18 - dezoito:
|
19 - dezenove:
|
O critério é sempre o mesmo, a bolinha à esquerda do símbolo
| vale dez vezes mais que qualquer uma das bolinhas da direita.
E se tivermos outra bolinha a mais, qual será a representação?
Como no novo ciclo já utilizamos todos os dígitos de
0 a
9, faremos tal qual no caso do dez. À direita utilizaremos o
0, e a esquerda utilizaremos o próximo símbolo. Como estávamos utilizando o
1, o próximo será o
2. Temos então:
20 - vinte:
|
Seguindo o raciocínio vinte e um será:
21 - vinte e um:
|
Para setenta e dois temos:
72 - setenta e dois:
|
Para noventa e nove temos:
99 - noventa e nove:
|
Com mais uma bolinha chegaremos a cem. Como já utilizamos os noves símbolos à direita do
|, devemos novamente reiniciar em
0 e na esquerda devemos utilizar o próximo símbolo da sequência, mas acontece que na esquerda do
| também já utilizamos os nove símbolos, então devemos voltar a
0
nesta posição e à sua esquerda utilizarmos o próximo símbolo. Como
ainda não utilizamos nenhum e como não podemos utilizar o zero, pois ele
não é significativo, utilizaremos o
1.
A representação para o número cem será então:
100 - cem:
| |
Qualquer bolinha nesta posição valerá cem vezes mais que qualquer bolinha na posição da direita.
Vejamos a representação para o número cento e onze:
111 - cento e onze:
|
|
Temos uma bolinha na esquerda, outra no centro e uma outra na direita. Embora todas sejam representadas pelo símbolo
1, a da esquerda vale
100, a do meio vale
10 e a da direita vale
1 mesmo.
A bolinha da direita ocupa a casa das unidades e por isto vale exatamente o que o seu símbolo representa, ou seja, vale
1 unidade.
A bolinha à sua esquerda, isto é, a bolinha do centro, ocupa a casa
das dezenas e por isto vale dez vezes mais do que o seu símbolo
representa, ou seja, vale
10 unidades.
Finalmente a bolinha à sua esquerda, isto é, a bolinha da esquerda,
ocupa a casa das centenas e por isto vale cem vezes mais do que o seu
símbolo representa, ou seja, vale
100 unidades.
Ordens e Classes
As casas das
unidades, das
dezenas e das
centenas são chamadas de
ordens.
No sistema de numeração decimal a cada três ordens posicionadas da direita para a esquerda temos uma classe.
A primeira classe, também da direita para a esquerda, é a das
unidades, na sequência temos a classe dos milhares, dos milhões, bilhões
e assim por diante conforme a figura abaixo:
O número 111 visto acima está todo contido na classe das unidades simples.
O dígito da esquerda é da ordem das
centenas, por isto ao invés de
1 unidade, ele equivale a
100 unidades.
O central é da ordem das
dezenas, equivalendo então a
10 unidades ao invés de
1 unidade apenas.
O dígito da direita é da ordem das
unidades equivalendo ao próprio valor do símbolo
1 que é de
1 unidade.
Para facilitar a leitura dos números com muitas classes, podemos separá-las utilizando o caractere ".", assim o número dois milhões, quinhentos e seis mil, oitocentos e trinta e nove pode ser escrito como 2.506.839.
Este número é formado por três classes.
A classe dos milhões é composta por uma única ordem, o dígito das unidades de milhões. Neste caso o símbolo
2 na verdade representa
dois milhões unidades (
2.000.000 ).
Na segunda classe, a dos milhares, temos três ordens, cada uma com os seguintes valores:
O símbolo
5 na ordem das centenas de milhar representa
quinhentas mil unidades (
500.000 ).
O símbolo
0 na ordem das dezenas de milhar, como sabemos não representa qualquer unidade.
O símbolo
6 na ordem das unidades de milhar representa
seis mil unidades (
6.000 ).
Finalmente na primeira classe, a classe das unidades, temos:
O símbolo
8 na ordem das centenas de unidades representa
oitocentas unidades (
800 ).
O símbolo
3 na ordem das dezenas de unidades representa
trintas unidades (
30 ).
O símbolo
9 na ordem das unidades de milhar representa
nove unidades (
9 ).
Parte Fracionária
Até agora só tratamos de números inteiros, mas no universo do sistema de numeração decimal temos também os números fracionários.
Para separarmos a parte inteira da parte fracionária, utilizamos a vírgula.
Como já vimos, na parte inteira o valor de cada símbolo depende da
sua posição relativa no número. Partindo-se da posição mais à direita,
quando nos deslocamos à esquerda, a cada ordem o valor do símbolo
aumenta em 10 vezes. De forma semelhante, quando nos deslocamos à
direita na parte fracionária, a cada posição o valor do símbolo diminui
em 10 vezes.
A primeira casa após a vírgula refere-se aos
décimos, a segunda aos
centésimos, a terceira aos
milésimos, a quarta aos
décimos de milésimos, e assim por diante,
centésimos de milésimos,
milionésimos, ...
Assim no número
0,1 o símbolo
1 não tem o valor de um, mas sim o valor relativo de apenas
um décimo.
No número
0,02 o símbolo
2 equivale a
dois centésimos.
No número
0,003 o símbolo
3 equivale a
três milésimos e em
0,0003 equivale a
três décimos de milésimos.
O número
0,25 pode ser lido como
vinte e cinco centésimos ou ainda como
dois décimos e cinco centésimos.
Lê-se
7,123 como
sete inteiros e cento e vinte e três milésimos, ou ainda como
sete inteiros, um décimo, dois centésimos e três milésimos.
1,5 é lido como
um inteiro e cinco décimos.
